精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2011•武进区模拟)函数f(x)=
1
2
ax2-bx-lnx
,a>0,f'(1)=0.
(1)①试用含有a的式子表示b;②求f(x)的单调区间;
(2)对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点P(x0,y0)(其中x0在x1与x2之间),使得点P处的切线l∥AB,则称AB存在“伴随切线”,当x0=
x1+x2
2
时,又称AB存在“中值伴随切线”.试问:在函数f(x)的图象上是否存在两点A、B,使得AB存在“中值伴随切线”?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)①先求导函数,再利用f'(1)=0,可用含有a的式子表示b;②求导函数,再利用导数大于0的函数的单调增区间,导数小于0得函数的单调减区间;
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),再利用中值伴侣切线的意义结合导数工具,求出g(t)在(1,+∞)上单调递增,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)①f′(x)=ax-b-
1
x

∵f'(1)=0,∴b=a-1.(2分)
f′(x)=
(ax+1)(x-1)
x

∵x>0,a>0
∴当x>1时f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0
∴f(x)增区间为(1,+∞),减区间为(0,1)(6分)
(2)不存在   (7分)  (反证法)
若存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0<x1<x2
则曲线y=f(x)在x0=
x1+x2
2
的切线斜率k=f′(x0)=a•
x1+x2
2
-b-
2
x1+x2

kAB=
y2-y1
x2-x1
=a•
x1+x2
2
-b-
lnx2-lnx1
x2-x1

∴由k=kABlnx2-lnx1-
2(x2-x1)
x2+x1
=0
①(11分)
t=
x2
x1
>1
,则①化为lnt+
4
t+1
=2

g(t)=lnt+
4
t+1
(t>1)
g′(t)=
1
t
-
4
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2
>0

∴g(t)在(1,+∞)为增函数   (15分)
又t>1∴g(t)>g(1)=2此与②矛盾,
∴不存在         (16分)
点评:本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题,关键是对新定义的理解.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武进区模拟)设m,n是两条不同的直线,a,b,g是两个不同的平面,有下列四个命题:
α∥β
β∥γ
⇒α∥β;②
α⊥β
m∥α
⇒m⊥β;③
m⊥α
m∥β
⇒α⊥β;④
m∥n
n?α
⇒m∥α.
其中真命题的是
①③
①③
(填上所有真命题的序号).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武进区模拟)函数f(x)=
3
cos
x
3
+sin
x
3
的最小正周期=

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武进区模拟)已知向量
.
a
.
b
满足(
.
a
+
.
b
)2=3
|
.
a
|=1
|
.
b
|=2
,则
.
a
.
b
的夹角=
120°
120°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武进区模拟)已知sinx+siny=
2
3
cosx+cosy=
2
3
,则sinx+cosx的值=
2
3
2
3

查看答案和解析>>

同步练习册答案