Question

6．若数列{a_n}满足：a₁=2，a_n=$\frac{2（2n-1）}{n}$a_n-1，（n≥2）．求证：
（1）a_n=${C}_{2n}^{n}$；
（2）a_n是偶数．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n=$\frac{2（2n-1）}{n}$a_n-1，（n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2（2n-1）}{n}$．可得a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁即可证明．
（2）由（1）可得a_n=${∁}_{2n}^{n}$是一个整数，又a_n=$\frac{（2n）!}{n!n!}$=2n$•\frac{（2n-1）!}{n!n!}$，即可证明．

解答 证明：（1）∵a₁=2，a_n=$\frac{2（2n-1）}{n}$a_n-1，（n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2（2n-1）}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{2（2n-1）}{n}$•$\frac{2（2n-3）}{n-1}$•$\frac{2（2n-5）}{n-2}$•…•$\frac{2（2×3-1）}{3}$×$\frac{2×（2×2-1）}{2}$×2
=$\frac{2n（2n-1）}{n•n}$$•\frac{（2n-2）（2n-3）}{（n-1）（n-1）}$•…•$\frac{2×3×（2×3-1）}{3×3}$•$\frac{2×2×（2×2-1）}{2×2}$×2
=$\frac{（2n）!}{n!n!}$
=${∁}_{2n}^{n}$．
（2）由（1）可得a_n=${∁}_{2n}^{n}$是一个整数，
又a_n=$\frac{（2n）!}{n!n!}$=2n$•\frac{（2n-1）!}{n!n!}$，必定是偶数．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”、组合数的公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．