Question

【题目】设点O为坐标原点，椭圆E： （a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为 的直线与直线AB相交M，且 ．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆E： （a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，

∴A（a，0），B（0，b）， ，∴M（ ， ）．

∴ ，解得a=2b，

∴ ，

∴椭圆E的离心率e为 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆E的方程为 ，即x2+4y2=4b2（1）

依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且 ．

由对称性可知，PQ与x轴不垂直，

设其直线方程为y=k（x﹣2）+1，代入（1）得：

（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则 ， ，

由 得 ，解得 ．

从而x1x2=8﹣2b2．

∴ ．

解得：b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出A（a，0），B（0，b），M（ ， ），从而 ，进而a=2b，由此能求出椭圆E的离心率．（Ⅱ）设椭圆E的方程为 ，设直线PQ的方程为y=k（x﹣2）+1，与椭圆联立得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．