Question

18．已知命题A：方程$\frac{y^2}{5-t}+\frac{x^2}{t-1}=1$表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t²-3t-4＜0成立．
（1）若t=2时，求命题A中的椭圆的离心率；
（2）求命题A是命题B的什么条件．

Answer 1

分析 （1）将t=2代入方程，求出a，b，c的值，从而求出离心率即可；（2）分别求出命题A，B成立的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．

解答 解：（1）当t=2时，椭圆方程为$\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{1}=1$
得a²=3，b²=1，c²=2
故$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{2}$，得$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
（2）命题A成立条件为$\left\{\begin{array}{l}5-t＞0\\ t-1＞0\\ 5-t＞t-1\end{array}\right.$得1＜t＜3
命题B成立条件为-1＜t＜4
由此可得A⇒B，即A是B的充分不必要条件．

点评 本题考查了椭圆的性质，考查充分必要条件，是一道基础题．