Question

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：分别求得双曲线的渐近线和准线方程，进而求得准线被它的两条渐近线所截得的线段长度判断①正确．
根据双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），进而求得e的范围，判断②不正确．
设△PF₁F₂的内切圆的圆心为O，内切圆切PF₁于A点，PF₂于B点，F1F₂于C点，根据双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a．进而根据|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，求得C的横坐标，判断③正确．
解答：解：双曲线的渐进线为y=±x，准线方程为x=，代入渐进线方程得y=±=
∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×=故①正确．
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+所以e的最大值是1+②不正确．
设△PF₁F₂的内切圆的圆心为O，内切圆切PF₁于A点，PF₂于B点，F1F₂于C点，
因为是内切圆，所以有OA⊥PF₁，OB⊥PF₂，OC⊥F₁F₂，且PA=PB，AF₁=F₁C，BF₂=CF₂．因为OC⊥F₁F₂，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．
由双曲线的性质可知
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=（|PA|+|AF₁|）-（|PB|+|BF₂|）=|CF₁|-|CF₂|=2a，
又∵|CF₁|+|CF₂|=2c，联立可得CF₂=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O点横坐标就为a，故③正确．
故答案为①③
点评：本题主要考查了双曲线的应用．解题的前提是对双曲线的基本知识能综合掌握．