Question

一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第4件工艺品所用的宝石数为    颗；第n件工艺品所用的宝石数为    颗 （结果用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：分析题目中已经给出的4个图形，设第一件宝石数a₁=6，第n-1件工艺品所用的宝石数a_n-1，第n件工艺品所用的宝石数a_n，由题意知a_n-a_n-1=5+4（n-1），将题目中求第n值工艺品所用的宝石数问题转化为数列问题，根据求数列通项公式的方法不难给出答案．
解答：解：设第一件宝石数a₁=6，
第n-1件工艺品所用的宝石数a_n-1，
第n件工艺品所用的宝石数a_n，
则a_n-a_n-1=5+4（n-1），
∴a_n-1-a_n-2=5+4（n-2），
…
a₃-a₂=5+4×2
a₂-a₁=5+4×1
则：a_n-a₁=5×（n-1）+4[1+2+…+（n-1）]=2n²+3n-5
又∵a₁=6，
∴a_n=2n²+3n+1
当n=4时，a₄=45
故答案为：66，2n²+3n+1
点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．