Question

已知函数f（x）=kx，g(x)=

lnx

x

（1）求函数g(x)=

lnx

x

的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．

Answer 1

分析：（1）由g'（x）＞0，解得x的范围，就是函数的增区间．
（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为

1

2e

，得到 k≥

1

2e

．
（3）先判断

lnx

x4

＜

1

2e

•

1

x2

 （x≥2），得 

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

x4

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，
用放缩法证明

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1，即得要证的不等式．

解答：解：（1）∵g(x)=

lnx

x

（x＞0），∴g′(x)=

1-lnx

x2

，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，
故函数g(x)=

lnx

x

的单调递增区间为（0，e）．
（2）由kx≥

lnx

x

，得k≥

lnx

x2

，令h(x)=

lnx

x2

，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．
又h′(x)=

1-2lnx

x3

，令h′(x)=0时，x=

e

．
当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：

x	（0， e ）	e	（ e ，+∞）
h'（x）	+	0	-
h（x）	↗	1 2e	↘

由表知当x=

e

时，函数h（x）有最大值，且最大值为

1

2e

，因此k≥

1

2e

．
（3）由

lnx

x2

≤

1

2e

，∴

lnx

x4

＜

1

2e

•

1

x2

 （x≥2），
∴

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

x4

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)．
又∵

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+ 

1

(n-1)n

=
1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

x4

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数极值，用放缩法证明不等式，放缩不等式是解题的难点．