Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小；
（3）求二面角D-SA-B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据条件中所给的两两垂直的三条直线建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出

SA

，

CB

的坐标，根据求出两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直．
（2）求线面角，写出线对应的向量，求出一条直线与平面垂直，这是平面的一个法向量，根据两个向量的夹角做出线与平面所成的角的正弦．
（3）要求两个平面的二面角，需要做出两个平面的法向量，根据上一问知道

OG

为平面SAB的法向量，只要求出面SDB的一个法向量，利用两个法向量的夹角的余弦值，得到两个向量的夹角．

解答：解：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz
A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)，S（0，0，1），

SA

=(

2

，0，-1)，

CB

=(0，2

2

，0)，

SA

•

CB

=0，
所以SA⊥BC
（2）取AB中点E，E(

2

2

，

2

2

，0)，
连接SE，取SE中点G，连接OG，G(

2

4

，

2

4

，

1

2

)．

.

OG

=(

2

4

，

2

4

，

1

2

)，

.

SE

=(

2

2

，

2

2

，1)，

.

AB

=(-

2

，

2

，0)．

.

SE

•

.

OG

=0，

.

AB

•

.

OG

=0，
OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．
∴OG⊥平面SAB，

.

OG

与

.

DS

的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余
D(

2

，2

2

，0)，

.

DS

=(-

2

，2

2

，1)．
cosα=

. OG • . DS

| . OG |•| . DS |

=

22

11

，
∴sinβ=

22

11

，
（3）由上知

OG

为平面SAB的法向量，

OG

=(

2

4

，

2

4

1

2

)
易得D（

2

，-2

2

，0）

DA

=(0，2

2

，0)，

SA

=(

2

，0，-1)
同理可求得平面SDA的一个法向量为

m

=(1，0，

2

)
∴cosθ=

m • OG

| m || OG |

=

3

2

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为150°．

点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是建立坐标系，写出要用的点的坐标，进而写出向量的坐标，然后进行向量的有关运算．