【题目】已知,且.
(1)求的值;
(2)证明: 存在唯一的极小值点,且.
(参考数据: )
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)求出定义域,设,等价于.
由,,得求出的导数,求出的值,利用导数验证是的极大值点,从而验证,符合题意;
(2)由(1)知,求导得.
设,利用二次求导,可以知道在上有唯一零点;又,所以在上有唯一零点.可以判断出是的唯一极小值点.由,得,
故, 由(1)知.
令,,则,可以求出,结论得证.
解:(1)的定义域为.
设,则,等价于.
因为,,所以
而,,得.
若,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以是的极大值点,故.
综上,.
(2)由(1)知,.
设,则,,令,得.当时,,单增;当时,,单减;
又因为,,,所以在上有唯一零点;又,所以在上有唯一零点.
于是当时,,时,,时,.因为,所以是的唯一极小值点.
由,得,
故,
由(1)知.
令,,则,当时,,所以在上单调递减,.
所以,结论得证.
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【题目】已知正实数列a1,a2,…满足对于每个正整数k,均有,证明:
(Ⅰ)a1+a2≥2;
(Ⅱ)对于每个正整数n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
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【题目】“工资条里显红利,个税新政入民心”.随着2019年新年钟声的敲响,我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.某从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利,绘制了他在26岁-35岁(2009年-2018年)之间各年的月平均收入(单位:千元)的散点图:(注:年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁)
(1)由散点图知,可用回归模型拟合与的关系,试根据有关数据建立关于的回归方程;
(2)如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月,试利用(1)的结果,将月平均收入视为月收入,根据新旧个税政策,估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税.
附注:①参考数据:,,,,
,,,其中:取,.
②参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
③新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点3500元) | 新个税税率表(个税起征点5000元) | |||
缴税 级数 | 每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点 | 税率 | 每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除 | 税率 |
1 | 不超过1500元的都分 | 3 | 不超过3000元的都分 | 3 |
2 | 超过1500元至4500元的部分 | 10 | 超过3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超过4500元至9000元的部分 | 20 | 超过12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超过9000元至35000元的部分 | 25 | 超过25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 |
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【题目】如图,几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体,这两个四棱锥的底面ABCD为正方形,,平面平面ABCD.
(1)证明:平面平面MDC.
(2)若,求二面角的余弦值.
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【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若点为棱上一点且,求二面角的余弦值.
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【题目】为了解某市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计该市此次检测理科数学的平均成绩;(精确到个位)
(2)研究发现,本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布(,约为),按以往的统计数据,理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占.
(ⅰ)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分?(精确到个位)
(ⅱ)从该市高三理科学生中随机抽取人,记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为,求的分布列及数学期望.(说明:表示的概率.参考数据:)
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【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP的平面交平面BDM于GH,H在BD上.
(1)求证平面BDM.
(2)若G为DM中点,求证:.
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【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本,当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元),每件售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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