分析 (1)求得n=1,可得a1=1;再将n换为n-1,相减即可得到所求通项;
(2)求得(2n+1)an=(2n+1)•($\frac{1}{2}$)n-1,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理,即可得到所求和.
解答 解:(1)当n=1时,可得a1=4-3=1;
当n>1时,a1+2a2+…+nan=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$(n∈N*),
将n换为n-1,可得a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$,
两式相减,可得nan=$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
可得an=($\frac{1}{2}$)n-1,对n=1也成立.
综上可得,an=($\frac{1}{2}$)n-1,n∈N*;
(2)(2n+1)an=(2n+1)•($\frac{1}{2}$)n-1,
则前n项和Sn=3•1+5•$\frac{1}{2}$+7•$\frac{1}{4}$+…+(2n+1)•($\frac{1}{2}$)n-1,
$\frac{1}{2}$Sn=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{4}$+7•$\frac{1}{8}$+…+(2n+1)•($\frac{1}{2}$)n,
两式相减,可得$\frac{1}{2}$Sn=3+2[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+($\frac{1}{2}$)n-1]-(2n+1)•($\frac{1}{2}$)n
=3+2•$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}$-(2n+1)•($\frac{1}{2}$)n,
化简可得,Sn=10-$\frac{2n+5}{{2}^{n-1}}$.
点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:错位相减法,属于中档题.
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A. | $\sqrt{5}$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 3 |
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A. | 5 | B. | 4 | C. | 3 | D. | 2$\sqrt{2}$ |
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A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $2\sqrt{2}$ |
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