Question

已知函数f(x)=x+

1

x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点对称；
（2）利用增函数的定义证明．

解答：解：（1）函数f(x)=x+

1

x

为奇函数                
∵函数f(x)=x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
且f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)．
所以函数f(x)=x+

1

x

为奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0  即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础．