Question

我们知道对数函数f（x）=log_ax，对任意x，y＞0，都有f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚成立，若a＞1，则当x＞1时，f﹙x﹚＞0，参照对数函数的性质，研究下题；定义在﹙0，+∞﹚上的函数f﹙x﹚对任意x，y∈﹙0，+∞﹚都有f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚，并且当且仅当x＞1时，f﹙x﹚＞0成立，
（1）设x，y∈﹙0，+∞﹚，求证：f﹙

y

x

﹚=f﹙y﹚-f﹙x﹚；
（2）设x₁，x₂∈﹙0，+∞﹚，若f﹙x₁﹚＞f﹙x₂﹚，比较x₁与x₂的大小．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1推导出f（1）=0，再令y=

1

x

，从而得到f（

1

x

）=-f（x），从而证明f﹙

y

x

﹚=f（y）+f（

1

x

）=f﹙y﹚-f﹙x﹚．
（2）先证明函数f（x）在﹙0，+∞﹚上是增函数，从而判断二者的大小关系．

解答： 解：（1）证明：令x=y=1，则由f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚知，
f﹙1﹚=f﹙1﹚+f﹙1﹚，
解得，f（1）=0，
令y=

1

x

，则f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=0，
即f（

1

x

）=-f（x），
故f﹙

y

x

﹚=f（y）+f（

1

x

）=f﹙y﹚-f﹙x﹚．
（2）设x₁，x₂∈﹙0，+∞﹚，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•

x2

x1

）
=f（x₁）-[f（x₁）+f（

x2

x1

）]
=-f（

x2

x1

），
∵0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
∴-f（

x2

x1

）＜0，
即f（x）在﹙0，+∞﹚上是增函数，
又∵f﹙x₁﹚＞f﹙x₂﹚，
∴x₁＞x₂．

点评：本题考查了对数函数的性质应用，同时考查了函数的单调性的证明与应用，属于中档题．