Question

4．证明：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{2}{2i-1}$-ln（2n-1）＜2（n∈N^*）

Answer 1

分析 令f（x）=ln（1+x）-x（-1＜x＜0），${f}^{′}（x）=\frac{1}{1+x}-1$=$\frac{-x}{1+x}$＞0，可得函数f（x）在（-1，0）上单调递增．取x=$\frac{2}{1-2n}$（n≥2），可得$ln（1+\frac{2}{1-2n}）$-$\frac{2}{1-2n}$＜f（0）=0，即$\frac{2}{2n-1}$＜ln（2n+1）-ln（2n-1），分别取n=2，3，…，n．“累加求和”即可得出．

解答 证明：令f（x）=ln（1+x）-x（-1＜x＜0），
${f}^{′}（x）=\frac{1}{1+x}-1$=$\frac{-x}{1+x}$＞0，
∴函数f（x）在（-1，0）上单调递增．
取x=$\frac{2}{1-2n}$（n≥2），
则$ln（1+\frac{2}{1-2n}）$-$\frac{2}{1-2n}$＜f（0）=0，
∴$\frac{2}{2n-1}$＜ln（2n+1）-ln（2n-1），
分别取n=2，3，…，n．
则$\frac{2}{2×2-1}$＜ln3-ln1，
$\frac{2}{2×3-1}$＜ln5-ln3，
…，
$\frac{2}{2n-1}$＜ln（2n-1）-ln（2n-3）．
∴$\frac{2}{2×2-1}$+$\frac{2}{2×3-1}$+…+$\frac{2}{2n-1}$＜ln（2n-1）．
∴$\frac{2}{2×1-1}$+$\frac{2}{2×2-1}$+$\frac{2}{2×3-1}$+…+$\frac{2}{2n-1}$-ln（2n-1）＜2．
即$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{2}{2i-1}$-ln（2n-1）＜2（n∈N^*）．

点评 本题考查了通过构造函数利用单调性证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．