Question

已知抛物线C：y=

1

4

x2在点A处的切线l与直线l'：y=x+1平行．
（1）求A点坐标和直线l的方程；
（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）先设切线方程，联立切线方程与抛物线方程，根据A为切点，方程只有一组解求出直线l的方程；进而求出A点坐标；
（2）先根据圆A的半径r等于圆心A到的距离求出半径即可得到结论．

解答：解：（1）设抛物线C：y=

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x2在点A处的切线l的方程为：y=x+b    ①，
由

y=x+b x2=4y

⇒x²-4x-4b=0．②
令△=4²-4×（-4b）=0⇒b=-1，代入②得x=2，结合①得y=1
所以：A（2，1），直线l的方程为y=x-1．
（2）抛物线的准线为y=-1，所以圆A的半径r等于圆心A到的距离，即r=2．
所以圆A的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．

点评：本题主要考察圆与圆锥曲线的综合问题．解决第一问的关键在于设切线方程，联立切线方程与抛物线方程，根据A为切点，方程只有一组解求出直线l的方程．