Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．

（1）求证：PB⊥AC．
（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AD中点为F连接BF、PF．

∵PA=PD=AB=a，∴ ，

∴ ．

∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，

又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，

∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．

（2）解：（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，

过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO．

由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，

∴∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角

．

．

∴ ．

∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为 ．

【解析】（1）设AD中点为F，连接BF、PF，推导出△ABC∽△FAB，从而AC⊥BF，推导出PF⊥AC，由此能证明AC⊥PB．（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO，则∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角E﹣AC﹣D的正切值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．