Question

如图，ABCD-A′B′C′D′是棱长为2的正方体，E是棱AD的中点．
（1）求证：异面直线D′E⊥CD；
（2）求异面直线AC，BC′所成的角的大小；
（3）求三棱锥B′-A′BC′的表面积．

Answer 1

分析：（1）ABCD-A′B′C′D′是棱长为2的正方体，根据线面垂直的性质定理可知D′E⊥CD；
（2）将BC′平移到至AD'，连接CD'，则∠D′AC为异面直线AC，BC′所成的角，而三角形AD′C为等边三角形，从而求出所求；
（3）三棱锥B′-A′BC′的表面是由三个直角三角形和一个等边三角形组成，然后求所各个面的面积

解答：解：（1）ABCD-A′B′C′D′是棱长为2的正方体
∴CD⊥面A'D'DA
而D'E?面A'D'DA
∴异面直线D′E⊥CD
（2）将BC′平移到至AD'，连接CD'
∴∠D′AC为异面直线AC，BC′所成的角，
而AD′=D′C=AC
∴∠D′AC=60°
（3）三棱锥B′-A′BC′的表面是由三个直角三角形和一个等边三角形组成
∴三棱锥B′-A′BC′的表面积为3×

1

2

×2×2+

3

4

(2

2

)2=6+2

3

点评：本题主要考查了异面直线所成角和三棱锥表面积的度量，同时考查了空间想象能力，属于中档题．