Question

在△ABC中c=

8

，a＞b，tanA+tanB=5，tanA•tanB=6，求a，b．

Answer 1

考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：根据已知和两角和的正切公式可先求得C=45°，根据题意，tanA，tanB是方程x²-5x+6=0的两个根，且a＞b，可求得tanA=3，tanB=2，从而可求cosA，sinA，cosB，sinB的值，
由正弦定理即可求a，b的值．

解答： 解∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
∴A+B=135°，C=45°，
∵根据题意，tanA，tanB是方程x²-5x+6=0的两个根，且a＞b，
∴A＞B，
∴tanA=3，tanB=2，
∴cos²A=

1

1+tan2A

=

1

10

，cosA=

10

10

，sinA=

3 10

10

，
cos²B=

1

1+tan2B

=

1

5

，cosB=

5

5

，sinB=

2 5

5

，
由正弦定理，得

a

sinA

=

c

sinC

，而c=

8

，sinC=

2

2

，
∴

a

sinA

=4，
∵a=4×

3 10

10

=

6 10

5

，
∴b=

csinB

sinC

=4×

2 5

5

=

8 5

5

．

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，综合性较强，属于中档题．