Question

如图，已知、、为不在同一直线上的三点，且，.

（1）求证：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求证：平面；
（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析：（3）.

试题分析：（1）通过证明平行四边形分别证明和，利用直线与平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面平面；（2）证法1是先证明平面，于是得到，由再由四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法2是建立以以点为原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法来证明平面；（3）在（2）的基础上利用空间向量法求出二面角的余弦值.
试题解析：（1）证明：且，四边形是平行四边形，，
面，面平面，
同理可得平面，又，平面平面；
（2）证法1：平面，平面，平面平面，
平面平面，
，，，，，平面，
，，，
又，得为正方形，，
又，平面；
证法2：，，，，，
平面，，平面，
以点为原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系如图示，由已知可、、、、、，
则，，，
，，，，
又，平面.

（3）由（2）得，，
设平面的法向量，则由，得，
令得，
由（2）知是平面的法向量，，
即二面角的余弦值为.
（其它解法请参照给分）