Question

已知数列{a_n}的递推公式为

a1=2 an+1=3an+1

，bn=an+

1

2

（n∈N^*），
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：b1=a1+

1

2

=2+

1

2

=

5

2

，结合题意可得：bn+1=an+1+

1

2

=3an+1+

1

2

=3(an+

1

2

)=3bn，进而得到答案．
（2）首先由（1）求出数列b_n的通项公式，再根据a_n与b_n的关系得到an=

5

2

×3n-1-

1

2

．

解答：解：（1）由题意可得：a₁=2，
所以b1=a1+

1

2

=2+

1

2

=

5

2

，
又因为a_n+1=3a_n+1，bn=an+

1

2

，
所以bn+1=an+1+

1

2

=3an+1+

1

2

=3(an+

1

2

)=3bn，
所以数列{b_n}是一个以

5

2

为首项，3为公比的等比数列．---------（6分）
（2）由（1）得bn=

5

2

×3n-1，
因为bn=an+

1

2

，
所以可得an+

1

2

=

5

2

×3n-1，
所以an=

5

2

×3n-1-

1

2

（n∈N^*）．---------（10分）

点评：本题主要考查数列的递推式之间的相互转化，以及等比数列的判定与等比数列的通项公式．