Question

7．如图所示，平面ADEF⊥平面ABCD，且四边形ADEF为正方形，AD⊥DC，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$DC=2，M为CE的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BED；
（3）求三棱锥M-DEB的体积．

Answer 1

分析 （1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF．
（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（3）利用三棱锥的体积公式直接计算即可．

解答 （1）证明：取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2$\sqrt{2}$
在△BCD中，BD=BC=2$\sqrt{2}$，CD=4，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．
（3）解：由（2）可知，BC⊥平面BDE，
所以三棱锥M-DEB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．