Question

过抛物线y²=2px（p＞0）焦点的直线与抛物线交于A、B两点，|AB|=3，且AB中点的纵坐标为，则p的值为________．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据AB中点的纵坐标为，可得y₁+y₂=1，两边平方，利用y₁y₂=-p²，可得2p（x₁+x₂-p）=1，利用抛物线的定义及|AB|=3，可得x₁+x₂=3-p，由此即可求得p的值．
解答：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵AB中点的纵坐标为，∴y₁+y₂=1
设AB方程为：x=ky+代入抛物线方程可得y²=2p（ky+），即y²-2pky-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∴y₁²+y₂²-2p²=1
∴2px₁+2px₂-2p²=1
∴2p（x₁+x₂-p）=1
分别过A，B向准线x=-引垂线，垂足依次为A₁，B₁，则|AF|=|AA₁|=x₁+，|BF|=|BB₁|=x₂+
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3
∴x₁+x₂=3-p
∴2p（3-2p）=1
∴4p²-6p+1=0
∴p=
故答案为：
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．