Question

已知函数．
（1）若，讨论函数在区间上的单调性；
（2）若且对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）函数，，所以可得函数.通过对函数求导，以及对讨论即可得到结论.
（2）由且对任意的，将换留下一个参数，又恒成立.构建新函数，通过对函数求导得到，对的取值分类讨论即可得结论.
试题解析：（1）时，，则，       1分
当时，，所以函数在区间上单调递减；       2分
当时，，所以函数在区间上单调递增；      3分
当时，存在，使得，即，       4分
时，，函数在区间上单调递增，        5分
时，，函数在区间上单调递减．        6分
（2）时，，
恒成立，等价于，                 7分
记，
则，          8分
当，即时，，在区间上单调递减，
所以当时，，即恒成立；         10分
当，即时，记，则，
存在，使得,
此时时，，单调递增，，即，
所以，即，不合题意；          12分
当时，，不合题意；              13分
综上，实数的取值范围是                   14分