Question

18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（　　）

• A． 88572
• B． 88575
• C． 29523
• D． 29526

Answer 1

分析 通过分析前几次中每次“H扩展”后增加的项的和，得出规律：第n次“H扩展”后增加的项的和为3ⁿ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：由题意可知，第1次“H扩展”后增加的项的和为3，
第2次“H扩展”后增加的项的和为4+5=9，
第3次“H扩展”后增加的项的和为5+7+8+7=27，
…
第n次“H扩展”后增加的项的和为3ⁿ，
∴第n次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为1+2+3+3²+…+3ⁿ=2+$\frac{1-{3}^{n+1}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$，
于是所求值为$\frac{1}{2}$•3¹¹+$\frac{3}{2}$=88575，
故选：B．

点评 本题考查数列的求和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．