Question

已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函数，φ（x）=（a-1）f（x）（

1

ax-1

+

1

2

）
（1）判断?（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）证明：若xf（x）＞0，则?（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）先判断定义域是否关于原点对称，再看?（x）与?（-x）的关系即可得结论；
（2）先判断出x＞0时对应f（x）的正负，再对a分大于1和大于0小于1两种情况讨论，分别得出

1

ax-1

+

1

2

的正负，综合即可证明x＞0时，?（x）＞0；
再利用偶函数的性质?（x）=?（-x）即可证明x＜0时，?（x）＞0．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
又?（x）的定义域为{x∈R|x≠0}2分）
∴?(-x)=(a-1)f(-x)(

1

a-x-1

+

1

2

)=(a-1)f(-x)(

ax

1-ax

+

1

2

)
=(a-1)f(-x)(

1

1-ax

-

1

2

)=(a-1)f(x)(

1

ax-1

+

1

2

)=?(x)
∴?（x）是偶函数．（6分）
（2）若x＞0，则由已知，f（x）＞0，（7分）
①当a＞1时

1

ax-1

+

1

2

＞0，a-1＞0∴?（x）＞0
②当0＜a＜1时

1

ax-1

+

1

2

＜0，a-1＜0，∴?（x）＞0，（10分）
又?（x）是偶函数，
∴x＜0，?（x）=?（-x）＞0．（11分）
故当xf（x）＞0时，?（x）＞0．（12分）

点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性．在证明或判断一个函数的奇偶性时，一定要先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）和f（x）的关系．