Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线x=

10

3

分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值．
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆上有两点T₁，T₂，使得△T₁SB，△T₂SB的面积都为

1

5

，求直线T₁T₂在y轴上的截距．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．
（2）引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解 出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．
（3）在上一问的基础上求出的参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段SB的长度，若使面积为

1

5

，只须点T到直线BS的距离为

2

4

即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为

2

4

的直线与椭圆的交点个数问题，求出平行直线l'，即有得到y轴上的截距．

解答： 解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），
上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，
故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（

10

3

，

16k

3

），
由

y=k(x+2) x2+4y2=4

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设S（x₁，y₁），则（-2）×x1=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，从而y₁=

4k

1+4k2

即S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
又B（2，0）由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

，
∴N（

10

3

，-

1

3k

），
故|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|
又k＞0，∴|MN|=

16k

3

+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

，
当且仅当

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

时等号成立．
∴k=

1

4

时，线段MN的长度取最小值

8

3

；．
（3）由（2）可知，当MN取最小值时，k=

1

4

，
此时BS的方程为x+y-2=0，S（

6

5

，

4

5

），∴|BS|=

4 2

5

，
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于

1

5

，只须T到直线BS的距离等于

2

4

，
所以T在平行于BS且与BS距离等于

2

4

的直线l'上．
设直线l'：x+y+t=0，则由

|t+2|

2

=

2

4

，解得t=-

3

2

或t=-

5

2

．
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得t=-

3

2

，此时点T有两个满足条件，
则直线l'：x+y-

3

2

=0，令x=0则y=

3

2

．
即有直线T₁T₂在y轴上的截距为

3

2

．

点评：本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．