Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD
（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB
（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥PA，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．推导出四边形BCEG是平行四边形，从而EC∥BF，由此能证明CE∥平面PAB．
（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．建立空间直角坐标系O-xyz利用向量法能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）
又因为AB⊥PA，
所以AB⊥平面PAD．（3分）
所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）
解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）
因为E为PD的中点，所以EF∥AD，$EF=\frac{1}{2}AD$，
又因为BC∥AD，$BC=\frac{1}{2}AD$，
所以BC∥EF，BC=EF．
所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB．（8分）
（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．
因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
如图建立空间直角坐标系O-xyz．（9分）
设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，a）．
所以$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{PA}$=（0，1，-a），$\overrightarrow{DC}$=（1，1，0）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y-az=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=a．所以$\overrightarrow{n}$=（0，a，1）．（11分）
因为DC与平面PAB所成角为30°，
所以|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{2}}$=sin30°=$\frac{1}{2}$，
解得a=1．（13分）
所以四棱锥P-ABCD的体积${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×{S_{ABCD}}×PO=\frac{1}{3}×\frac{1+2}{2}×1×1=\frac{1}{2}$．（14分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．