Question

【题目】已知a为实数，若函数f（x）=|x2+ax+2|﹣x2在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[﹣8，0）
【解析】解：f（x）=|x2+ax+2|﹣x2= ，
设x2+ax+2=0的两个根分别为x1 ， x2 ， （x1＜x2），
则f（x）= ，
∵当x≥x2时，函数f（x）=ax+2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴a＜0，
当x1＜x＜x2时，抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ ．
若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则﹣ ≤2，得﹣8≤a＜0．
若f（x）在区间（﹣∞，﹣1）递减，
则x1= ≥﹣1，
即﹣a﹣ ≥﹣2，
则 ≥a﹣2，
∵﹣8≤a＜0，
∴ ≥a﹣2恒成立，
综上﹣8≤a＜0，
所以答案是：[﹣8，0）

【考点精析】掌握函数的单调性是解答本题的根本，需要知道注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．