Question

15．已知f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），（0＜a＜1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）若不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求函数解析式；
（2）直接利用函数的奇偶性与单调性的定义证明；
（3）由函数的性质把不等式转化为3t²-1＞-4t+k对任意t∈[1，3]都成立，分离参数k，再由配方法求出二次函数的最值得答案．

解答 解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，
由f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），得$f（t）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{t}-{a}^{-t}）$，
∴$f（x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）$；
（2）函数f（x）为奇函数且为R上的单调增函数．
证明如下：
∵f（x）的定义域为R，且$f（-x）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{-x}-{a}^{x}）=-\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{x}-{a}^{-x}）=-f（x）$，
∴f（x）为奇函数．
当0＜a＜1时，a²-1＜0，∴$\frac{a}{{a}^{2}-1}＜0$，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，则${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{a}^{-{x}_{2}}-{a}^{-{x}_{1}}）$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}）$＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），又x₁＜x₂，
∴f（x）为实数集上的单调增函数；
（3）不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，
即不等式f（3t²-1）＞f（-4t+k）对任意t∈[1，3]都成立，
即3t²-1＞-4t+k对任意t∈[1，3]都成立，
也就是3t²+4t-1＞k对任意t∈[1，3]都成立，
∵$3{t}^{2}+4t-1=3（{t}^{2}+\frac{4}{3}t）-1=3（t+\frac{2}{3}）^{2}-\frac{7}{3}$在[1，3]上的最小值为6，
∴k＜6．
∴实数k的取值范围为（-∞，6）．

点评 本题考查恒成立问题，考查了函数单调性与奇偶性的性质，训练了分离参数法求字母的取值范围，是中档题．