Question

9．经过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0右焦点F的直线1：y=$\sqrt{3}$（x-1）交椭圆C于A，B两点，P为弦AB的中点，且OP的斜率为-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左焦点为F′，求△AF′B的面积．

Answer 1

分析 （1）由直线1：y=$\sqrt{3}$（x-1），令y=0，解得x=1，c=1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$．代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，两式相减可得：2a²=3b²，与a²=b²+c²，c=1联立解出即可．
（2）由（1）可得：左焦点为F′（-1，0），点F′到直线l的距离d，直线与椭圆方程联立化为11x²-18x+3=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=$\sqrt{[1+（\sqrt{3}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，即可得出△AF′B的面积S=$\frac{1}{2}d•|AB|$．

解答 解：（1）由直线1：y=$\sqrt{3}$（x-1），令y=0，解得x=1，∴c=1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$．
代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{2{y}_{0}}{{b}^{2}}×\sqrt{3}$=0，
化为$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}{9{b}^{2}}$=0，
化为2a²=3b²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{2{a}^{2}=3{b}^{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=2，a²=3．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由（1）可得：左焦点为F′（-1，0），点F′到直线l的距离d=$\frac{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为11x²-18x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{18}{11}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{11}$．
∴|AB|=$\sqrt{[1+（\sqrt{3}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{（\frac{18}{11}）^{2}-4×\frac{3}{11}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{11}$．
∴△AF′B的面积S=$\frac{1}{2}d•|AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{16\sqrt{3}}{11}$=$\frac{24}{11}$．

点评 本题考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．