Question

若数列{a_n}满足性质“对任意正整数n，

an+2+an

2

≤an+1都成立”，且a₁=1，a₂₀=58，则a₁₀的最小值为

28

．

Answer 1

分析：考察数列的关系，构造过点A₁A₂₀的直线，说明点在直线的上方，利用等差数列的关系求出a₁₀的最小值即可．

解答：解：记点A₁（1，1），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…，A₁₉（19，a₁₉），A₂₀（20，58），
则过点A₁A₂₀的直线l的方程为y=3x-2，可证明点A₂，A₃，…，A₁₉均不可能在直线l的右下方区域．
而当点A₂，A₃，…，A₁₉均在直线l上时，数列{a_n}构成等差数列，显然有

an+2+an

2

=an+1，当然满足

an+2+an

2

≤an+1，易得公差为3，a₁₀=28，由于点A₁₀不可能在直线l的右下方区域，所以a₁₀≥3×10-2=28，所以a₁₀的最小值为28．
故答案为：28．

点评：本题是中档题，考查数列的特征，构造法的应用，注意数列与函数结合，转化思想．