Question

13．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ+k．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据公式${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{S_1}，（{n=1}）\\{S_n}-{S_{n-1}}，（{n≥2}）\end{array}\right.$可求得a_n，因为数列{a_n}为等比数列，所以n=1时a₁也适合n≥2时a_n的解析式．从而可求得k．
（2）由（1）知$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，因为通项公式符合等差乘等比的形式，所以应用错位相减法求数列的和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2+k，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+k）-（2^n-1+k）=2^n-1，（3分）
又{a_n}为等比数列，∴a₁=2+k适合上式，
∴2+k=1，得k=-1，
此时a_n=2^n-1．（n∈N^*）．（5分）
（2）∵$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和：
T_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-2}}+\frac{n}{{2}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，②（ 8分）
①-②得：
$\frac{1}{2}$T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．（12分）

点评 本题考查数列有通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．