Question

设数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，且．an+1=2sn+1，n∈N*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项均为正数，其n项和T_n，且T₃=15又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n；
（III）求数列{a_nb_n}的前n项和P_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减，可得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用T₃=15又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求出数列的首项与公差，从而可求T_n；
（III）利用错位相减法，可求数列{a_nb_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1，
两式相减，整理可得a_n+1=3a_n，
又a₁=1，a₂=2S₁+1=3=3a₁，
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
故a_n=3^n-1．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公差为d，则d＞0．
由T₃=15得b₂=5．
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，∴d=2，∴b₁=3，
∴T_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（III）由a_n=3^n-1，b_n=1+2n，所以a_nb_n=（1+2n）×3^n-1，
故Pn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)×3n-1，
∴3Pn=3×3+5×32+7×33+…+(2n+1)×3n
两式相减得，-2Pn=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)×3n=-2n•3ⁿ，
∴Pn=n•3n．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等比数列的判断，正确运用数列的通项与求和公式是关键．