Question

设函数y=f（x）=

1-x2

+a（

1-x

+

1+x

），a∈R
（Ⅰ）设t=

1-x

+

1+x

，把y表示成t的函数，并求出t的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的最小值为g（a），求g（a）的解析式，并求g（a）的值域．

Answer 1

分析：（I）对t=

1-x

+

1+x

两边同时平方可得t与x的关系，代入已知函数中即可求解f（t），
（2）由（I）可得f（t）与t的关系及t的范围，然后结合二次函数的性质可求函数的最小值g（a）

解答：解：（I）由t=

1-x

+

1+x

两边同时平方可得，t2=1-x+1+x+2

1-x2

=2+2

1-x2

∴

1-x2

=

t2-2

2

∵f（x）=

1-x2

+a（

1-x

+

1+x

）
=

t2-2

2

+at=

1

2

t2+at-1
∵0≤1-x²≤1
∴2≤t²≤4且t＞0
∴

2

≤t≤4
∴y=f（t）=

1

2

t2+at-1，t∈[

2

，2]
（II）∵y=f（t）=

1

2

t2+at-1，t∈[

2

，2]
=

1

2

(t2+2at+a2)-1-

1

2

a2=

1

2

(t+a)2-1-

1

2

a2
①当-a≥2即a≤-2时，函数f（t）在[

2

，2]单调递减，g（a）=f（2）=2a+1≤-3
②当-a≤

2

即a≥-

2

时，函数f（t）在[

2

，2]单调递增，g（a）=f（

2

）=

2

a≥-2
③当

2

＜-a＜2即-2＜a＜-

2

时，g（a）=f（-a）=-1-

1

2

a2∈（-3，-2）
根据分段函数的性质可知，分段函数的值域是各段函数值域的并集
∴g（a）的值域为R

点评：本题主要考查了换元法在求解函数值域中的应用，二次函数在闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用．