Question

已知某抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点F的距离为5．
（Ⅰ）求该抛物线的方程．
（Ⅱ）设C是该抛物线上的一点，一以C为圆心的圆与其准线和y轴都相切，求C点的坐标．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据P（m，-3），即P点纵坐标为-3可知抛物线开口向下，设抛物线方程x²=-2py
根据抛物线的定义可知3+=5，
∴p=4；
∴抛物线方程为x²=-8y，
（Ⅱ）∵C为圆心的圆与其准线和y轴都相切
∴C点到准线的距离等于它到y轴的距离
∴在y轴的切点为焦点F（0，-2）
设C（x，-2），代入抛物线方程，可得x²=16
∴x=±4
∴C的坐标为（4，-2）或（-4，-2）
分析：（Ⅰ）根据P点纵坐标为-3，可知抛物线开口向下，设抛物线的标准方程，根据抛物线的定义求得p，进而可得到抛物线方程；
（Ⅱ）根据C为圆心的圆与其准线和y轴都相切，可得C点到准线的距离等于它到y轴的距离，从而可设点C的坐标，代入抛物线方程可解．
点评：本题以抛物线的性质为载体，考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，属于基础题．