【题目】已知在四棱锥中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,
、
分别是线段
、
的中点.
(1)证明:
(2)在线段上是否存在点
,使得
∥平面
,若存在,确定点
的位置;若不存在,说明理由.
(3)若与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
试题分析:(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直;(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析:解法一:(1)∵ 平面
,
,
,
,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
. 2分
不妨令∵
,
∴
,
即. 4分
(2)设平面的法向量为
,由
,得
,令
,
得:.∴
. 6分
设点坐标为
,
,则
,要使
∥平面
,只需
,即
,得
,从而满足
的点
即为所求. 8分
(3)∵,∴
是平面
的法向量,易得
, 9分
又∵平面
,∴
是
与平面
所成的角,
得,
,平面
的法向量为
10分
∴,
故所求二面角的余弦值为
. 12分
解法二:(1)证明:连接,则
,
,
又,∴
,∴
2分
又,∴
,又
,
∴ 4分
(2)过点作
交
于点
,则
∥平面
,且有
5分
再过点作
∥
交
于点
,则
∥平面
且
,∴ 平面
∥平面
7分 ∴
∥平面
.从而满足
的点
即为所求. 8分
(3)∵平面
,∴
是
与平面
所成的角,且
.
∴ 9分
取的中点
,则
,
平面
,
在平面中,过
作
,连接
,则
,
则即为二面角
的平面角 10分
∵∽
,∴
,∵
,且
∴ ,
,∴
12分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
总计 | 60 |
(Ⅰ)根据题目完成列联表,并据此判断是否有
的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.
(Ⅱ)现已知,
,
三人获得优秀的概率分别为
,
,
,设随机变量
表示
,
,
三人中获得优秀的人数,求
的分布列及期望
.
附: ,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数.
(1)若直线是函数
图象的一条切线,求实数
的值;
(2)若函数在
上的最大值为
(
为自然对数的底数),求实数
的值;
(3)若关于的方程
有且仅有唯一的实数根,求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列几个命题
①奇函数的图象一定通过原点
②函数y= 是偶函数,但不是奇函数
③函数f(x)=ax﹣1+3的图象一定过定点P,则P点的坐标是(1,4)
④若f(x+1)为偶函数,则有f(x+1)=f(﹣x﹣1)
⑤若函数f(x)= 在R上的增函数,则实数a的取值范围为[4,8)
其中正确的命题序号为 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形中,
,
为边
的中点,将
沿直线
翻转成
.若
为线段
的中点,则在
翻折过程中:
①是定值;②点
在某个球面上运动;
③存在某个位置,使;④存在某个位置,使
平面
.
其中正确的命题是_________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某科研小组研究发现:一棵水果树的产量(单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系:
.此外,还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)
百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为
(单位:百元).
(1)求的函数关系式;
当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动点 P 与定点的距离和它到定直线 x 4 的距离的比是1: 2 ,记动点 P 的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程;
(2)设 A 是曲线 E 上的一个点,直线 AF 交曲线 E 于另一点 B,以 AB 为边作一个平行四边形,顶点 A、B、C、D 都在轨迹 E 上,判断平行四边形 ABCD 能否为菱形,并说明理由;
(3)当平行四边形 ABCD 的面积取到最大值时,判断它的形状,并求出其最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com