Question

10．已知数列{c_n}的前n项和为T_n，若数列{c_n}满足各项均为正项，并且以（c_n，T_n）（n∈N^*）为坐标的点都在曲线$ay=\frac{a}{2}{x^2}+\frac{a}{2}x+b，（a为非0常数）$上运动，则称数列{c_n}为“抛物数列”．已知数列{b_n}为“抛物数列”，则（　　）

• A． {b_n}一定为等比数列
• B． {b_n}一定为等差数列
• C． {b_n}只从第二项起为等比数列
• D． {b_n}只从第二项起为等差数列

Answer 1

分析 以（c_n，T_n）（n∈N^*）为坐标的点都在曲线$ay=\frac{a}{2}{x^2}+\frac{a}{2}x+b，（a为非0常数）$上运动，可得T_n=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{b}{a}$．当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，化为：（c_n+c_n-1）（c_n-c_n-1-1）=0，由于数列{c_n}满足各项均为正项，可得c_n-c_n-1=1，即可得出．

解答 解：∵以（c_n，T_n）（n∈N^*）为坐标的点都在曲线$ay=\frac{a}{2}{x^2}+\frac{a}{2}x+b，（a为非0常数）$上运动，
∴aT_n=$\frac{a}{2}$${c}_{n}^{2}$+$\frac{a}{2}$c_n+b，即T_n=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{b}{a}$．
当n=1时，ac₁=$\frac{1}{2}a{c}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$ac₁+b，化为${c}_{1}^{2}$-c₁+$\frac{2b}{a}$=0，解得c₁=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$或c₁=$\frac{1-\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$．
当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{b}{a}$-$[\frac{1}{2}{c}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}+\frac{b}{a}]$，化为：（c_n+c_n-1）（c_n-c_n-1-1）=0，
∵数列{c_n}满足各项均为正项，
∴c_n-c_n-1=1，
∴数列{b_n}为等差数列，公差为1，首项为c₁．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．