Question

设函数y=f（x）的定义域R上的奇函数，满足f（x-2）=-f（x），对一切x∈R都成立，又知当-1≤x≤1时，f（x）=x³，则下列四个命题
①f（x）是以4为周期的周期函数；
②f（x）在[1，3]上的解析式f（x）=（2-x）³；
③f(x)在点(

3

2

，f(

3

2

))处的切线方程为3x+4y-5=0；
④x=±1是函数f（x）图象的对称轴．
其中正确的是

 

．

Answer 1

分析：根据函数y=f（x）的定义域R上的奇函数，满足f（x-2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x）即周期性和对称性，根据周期性做出函数在一个区间上的解析式，进而求出曲线的斜率．

解答：解：∵函数y=f（x）的定义域R上的奇函数，
满足f（x-2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），故①正确，
当x∈[1，3]，x-2∈[-1，1]
∴f（x）在[1，3]上的解析式f（x）=（2-x）³，故②正确，
∴f^′（x）=-3（2-x）²，
f(x)在点(

3

2

，f(

3

2

))出的切线的斜率是-

3

4

，
∴切线的方程是3x+4y-5=0，故③正确，
x=±1是函数f（x）图象的对称轴，故④正确，
综上可知①②③④正确，
故答案为：①②③④．

点评：本题考查函数的性质，包括奇偶性，周期性，函数的解析式的写法，注意区分根据周期性来写解析式和根据对称性来写解析式的不同．