Question

20．如图，在△ABC中，若$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DE}$=λ（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{BC}$），则实数λ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据几何图形得出$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，表示$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}$$-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$-\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DE}$=λ（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$λ（-\overrightarrow{AC+}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$λ\overrightarrow{AB}$$-2λ\overrightarrow{AC}$，对于基底向量的系数相等，即可求解．

解答 解：∵$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
，∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}$$-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$-\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{DE}$=λ（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$λ（-\overrightarrow{AC+}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$λ\overrightarrow{AB}$$-2λ\overrightarrow{AC}$，
∴$λ=\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考察了平面向量的分解表示，运用基底表示向量，对于系数相等，考察了几何图形的运用能力．