Question

已知数列{a_n}中，，且当时，函数取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：b₁=2，，证明：是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式通项及前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=a_n•x-a_n+1
由题意得
∴数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，∴
（Ⅱ）由（1）知b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹，∴b_n+1=2b_n+2ⁿ⁺¹
∴
∴是以1为首项，1位公差的等差数列
∴，∴b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2+2•2²++n•2ⁿ，2S_n=1•2²++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得：-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
分析：（I）由当时，函数取得极值，先求出函数的导数，得
f′（x）=a_n•x-a_n+1，再由x=2时，导数为0得，进而用等比数列的通项公式去求．
（Ⅱ）可通过证明数列的后一项减前一项是同一常数，来证明明数列是等差数列．再用错位相减法求和．
点评：此题主要考查了数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列和，做题时要认真审题，发现规律．