Question

对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

为, 要求清洗完后的清洁度为.  有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;   方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,

其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

Answer 1

解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为与,由题设有,解得.

        由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量满足方程:

      解得,故.即两种方案的用水量分别为与.

   因为当时，即,故方案乙的用水量较少.

（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得

     ①

于是

          当为定值时, ,

          当且仅当时等号成立.此时

         （不和题意，舍去）或

          将代入①式得

          故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为

          ,    最少总用水量是.

          当时，,故是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.