Question

函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式
（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=

1

3

f′(x)+5x+m的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图象过点（0，3）求出d，再利用1是极值点求出c，利用切线的斜率为-3得f′（2）=-3且f（2）=5求出a，b即可得函数f（x）的解析式；
（2）由题意可得：x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三个不相等的实根，等价于g（x）=x³-7x²+8x与y=m有三个不同的交点，利用导数可求函数的极大与极小，即可得m的取值范围．

解答：解：（1）由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，
∴

d=3 3a+2b+c-3a-2b=0

，

d=3 c=0

----3
依题意f′（2）=-3且f（2）=5，解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3----6
（2）由题意可得：x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x³-7x²+8x与y=m有三个不同的交点g′（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4）

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g′（x）	+	0	_	0	+
g（x）	增	极大	减	极小	增

则g(

2

3

)=

68

27

，g（4）=-16，故m的取值范围是(-16，

68

27

)----12

点评：本题考查利用导数求函数的极值，及导数的几何意义，考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．解题的关键是将方程根的问题转化为图象的交点问题．