Question

已知函数f（x）=

3

msinxcosx+mcos²x+n（m，n∈R）在区间[0，

π

4

]上的值域为[1，2]．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面积为

3

，求边长a的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），对m讨论，m＞0，m＜0，根据值域求得m，n，再求单调增区间；
（Ⅱ）当m＞0时，求得A，再由正弦定理得到b=4c，由面积公式，即可得到b，c 再由余弦定理求得a．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=

3

msinxcosx+mcos2x+n=

3 m

2

sin2x+

m

2

(1+cos2x)+n
=

m

2

(

3

sin2x+cos2x)+

m

2

+n=msin(2x+

π

6

)+

m

2

+n，
当x∈[0，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，则

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．
由题意知m≠0，
①若m＞0，则

m 2 + m 2 +n=1 m+ m 2 +n=2

，
解得m=2，n=-1，则f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
②若m＜0，则

m+ m 2 +n=1 m 2 + m 2 +n=2

，
解得m=-2，n=4．则f(x)=-2sin(2x+

π

6

)+3，
由f(x)=2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
故函数f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）当m＞0时，由2sin(2A+

π

6

)=1，所以A=

π

3

．
因为sinB=4sin（π-C），所以sinB=4sinC，则b=4c，
又△ABC面积为

3

，所以S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

，即bc=4，
所以b=4，c=1，则a2=42+12-2×4×1×cos

π

3

=13，
所以a=

13

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的图象和性质，求单调区间和求值域，考查正弦、余弦定理和面积公式及运用，考查运算能力，属于中档题．