Question

（2012•黄浦区一模）已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2．如图所示．
（1）证明：SD⊥平面SAB；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD．

Answer 1

分析：（1）证明线面垂直，利用线面垂直的判定定理，证明SD⊥SA，SD⊥SB即可；
（2）利用等体积，计算顶点S到底面ABCD的距离，再计算四棱锥S-ABCD的体积．

解答：（1）证明：∵直角梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2，
∴BD=2

5

，AD=2

5

． 
∴在△DSA和△DSB中，有SA²+SD²=4²+2²=AD²，SB²+SD²=4²+2²=BD²．
∴SD⊥SA，SD⊥SB
∵SA∩SB=S．
∴SD⊥平面SAB；
（2）解：设顶点S到底面ABCD的距离为h．结合几何体，可知V_D-SAB=V_S-ABD．
又S△SAB=

1

2

SA×SB×sin60°=4

3

，S△ABD=

1

2

AB×BC=8，
于是，

1

3

S△SAB×SD=

1

3

S△ABDh，解得h=

3

．
所以四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD=

1

3

VS-ABCD×h=

1

3

×

(4+2)×4

2

×

3

=4

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查体积的计算，解题的关键是利用线面垂直的判定定理，正确运用体积公式．