Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、y∈R都有f（x）+f（y）=f（ x+y）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）如果当x∈（-∞，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在满足条件（2）求不等式f（1-2a）+f（4-a²）＞0的a的集合．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₁）-f（x₂）与0的大小即可．
（3）根据奇函数把不等式变形，再根据单调性转化不等式的解之即可．

解答：（1）、证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）、任取-1＜x₁＜x₂＜1，则x₁-x₂＜0，
由题设x＜0时，f（x）＞0，可得f（x₁-x₂）＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
故有f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是单调递减函数．
（3）、任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
由题设x＜0时，f（x）＞0，可得f（x₁-x₂）＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
故有f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在R上是单调递减函数．
由题意可知：f（x）奇函数，f（1-2a）+f（4-a²）＞0
所以f（1-2a）＞f（a²-4）
又因为f（x）在R上是单调递减函数．
所以1-2a＜a²-4，
解得：(-∞，-1-

6

)∪(-1+

6

，+∞)．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式．
此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．