Question

（08年江苏卷）【必做题】．请先阅读：

在等式（）的两边求导，得：，

由求导法则，得，化简得等式：．

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．

（2）对于正整数，求证：

（i）；  （ii）；  （iii）．

Answer 1

证明：（1）在等式两边对求导得

          移项得                 （*）

（2）（i）在（*）式中，令，整理得 

     所以   

（ii）由（1）知

两边对求导，得

在上式中，令

              

即 ，

亦即          （1） 

又由（i）知          （2）

由（1）+（2）得

（iii）将等式两边在上对积分

    由微积分基本定理，得

    所以