Question

(本小题满分12分)   
如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）试确定点的位置，使得平面；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

(I)可以先证明平面,再证明即可.
(II)连接CM，若平面，平面平面，∴，从而可根据平行线分线段成比例定理，可确定点M的位置.
(III)不难找出二面角的平面角为，然后解三角形MON求角即可.
（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分别是、的中点，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；---------------------------------------4分
（Ⅱ）连结，

∵平面，平面平面，∴，
∴，故  ----------------------------6分
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角， ---------------------------------8分
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，可求得，，，----------10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为． ------------------------------12分