Question

选修4-5：不等式选讲：
设函数f(x)=

|ax-2|+|ax-a|-2

(a∈R)．
（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知：|x-2|+|x-1|-2≥0，由此能求出a=1时，函数f（x）的定义域．
（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax-2|+|ax-a|-2≥0，即|ax-2|+|ax-a|≥2恒成立，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）由题设知：|x-2|+|x-1|-2≥0等价于：

x≤1 -x+2-x+1-2≥0

⇒x≤

1

2

，
或

1＜x＜2 -x+2+x-1-2≥0

⇒x∈∅，
或

x≥2 x-2+x-1-2≥0

⇒x≥

5

2

，
综上所述，当a=1时，函数f（x）的定义域为（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．
（2）由题设知，当x∈R时，恒有|ax-2|+|ax-a|-2≥0，
即|ax-2|+|ax-a|≥2恒成立，
∵|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|，
∴只需|a-2|≥2，
解得a≤0，或a≥4．

点评：本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意含绝对值不等式的性质及其应用．