Question

已知A，B，C是椭圆m：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2

3

，0），BC过椭圆m的中心，且

AC

•

BC

=0，且|

BC

|=2|

AC

|．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且|

DP

|=|

DQ

|．求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2

3

；由

AC

•

BC

=0，得AC⊥BC；由|

BC

|=2|

AC

|和椭圆的对称性，得|

AC

|=|

OC

|；这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．
（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则-2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得PQ的中点H坐标，由|

DP

|=|

DQ

|，得DH⊥PQ，所以斜率kDH=-

1

k

，这样得等式②；
由①②可得t的范围．

解答：解（1）如图所示，
∵|

BC

|=2|

AC

|，且BC过点O（0，0），则|

OC

|=|

AC

|；
又 

AC

•

BC

=0，∴∠OCA=90°，且A（2

3

，0），则点C(

3

，

3

)，
由a=2

3

，可设椭圆的方程m：

x2

12

+ 

y2

12-c2

 =1；
将C点坐标代入方程m，得

3

12

+

3

12-c2

=1，解得c²=8，b²=4；
∴椭圆m的方程为：

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）如图所示，
由题意，知D（0，-2），∵M（0，t），
∴1°当k=0时，显然-2＜t＜2，
   2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则

x2 12 + y2 4 =1 y=kx+t

，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0；
由△＞0，可得t²＜4+12k² ①
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且PQ的中点为H（x₀，y₀）；
则x₀=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y₀=kx₀+t=

t

1+3k2

，∴H(-

3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

)；
由

|DP

|=

|DQ

|，∴DH⊥PQ，则k_DH=-

1

k

，∴

t 1+3k2 +2

- 3kt 1+3k2 -0

=-

1

k

；
∴t=1+3k² ②
∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；
综上，得t∈（-2，4）．

点评：本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果．