Question

5．已知在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ+sinθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ-cosθ}\end{array}\right.$（θ为参数），在以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{6}$）=1．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）曲线C₁上恰好存在三个不同的点到曲线C₂的距离相等，分别求这三个点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ+sinθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ-cosθ}\end{array}\right.$（θ为参数），两式平方相加可得直角坐标方程；曲线C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{6}$）=1，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$=1，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可化为直角坐标方程．
（2）原点O到直线C₂：$\sqrt{3}y+x-2$=0的距离d=1=$\frac{1}{2}$r，直线$\sqrt{3}$y+x=0与圆的两个交点A，B满足条件．联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解出利用$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，分别化为极坐标A，B．
设与直线：$\sqrt{3}y+x-2$=0平行且与圆相切的直线方程为：$\sqrt{3}$y+x+m=0，（m＜0）．与圆的方程联立化为：4y²+2$\sqrt{3}$my+m²-4=0，令△=0，解得m，即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ+sinθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ-cosθ}\end{array}\right.$（θ为参数），两式平方相加可得：x²+y²=4，
曲线C₂：ρsin（$θ+\frac{π}{6}$）=1，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$+$\frac{1}{2}ρcosθ$=1，化为直角坐标方程：$\sqrt{3}y+x-2$=0．
（2）原点O到直线C₂：$\sqrt{3}y+x-2$=0的距离d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=1=$\frac{1}{2}$r，
直线$\sqrt{3}$y+x=0与圆的两个交点A，B满足条件．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
利用$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，分别化为极坐标A$（2，\frac{5π}{6}）$，B$（2，\frac{11π}{6}）$．
设与直线：$\sqrt{3}y+x-2$=0平行且与圆相切的直线方程为：$\sqrt{3}$y+x+m=0，（m＜0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+x+m=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：4y²+2$\sqrt{3}$my+m²-4=0，
令△=12m²-16（m²-4）=0，解得m=-4．
∴$（y-\sqrt{3}）^{2}$=0，
解得y=$\sqrt{3}$，x=1．
∴切点C$（1，\sqrt{3}）$，化为极坐标C$（2，\frac{π}{3}）$．
∴满足条件的这三个点的极坐标分别为：极坐标A$（2，\frac{5π}{6}）$，B$（2，\frac{11π}{6}）$，C$（2，\frac{π}{3}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．