Question

某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10-x）²万件．
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件建立利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（Ⅱ）利用导数求利润函数的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的
函数关系式为L（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[7，9]．
（Ⅱ）求函数的导数L'（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
令L′（x）=0，得x=6+

2

3

a或x=10，
∵1≤a≤3，
∴

20

3

≤6+

2

3

a≤8．
①当6+

2

3

a≤7，即1≤a≤

3

2

时，
∴x∈[7，9]时，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上单调递减，
故L（x）_max=L（7）=27-9a．
②当6+

2

3

a＞7，即

3

2

＜a≤3时，
∴x∈[7，6+

2

3

a]时，L′（x）＞0；
x∈[6+

2

3

a，9]时，L'（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，6+

2

3

a]上单调递增；在x∈[6+

2

3

a，9]上单调递减，
故L(x)max=L(6+

2

3

a)=4(2-

a

3

)3．
答：当1≤a≤

3

2

每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为27-9a万元；
当

3

2

＜a≤3每件商品的售价为6+

2

3

a元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为4(2-

a

3

)3万元．

点评：本题主要考查函数的应用问题，利用导数解决生活中的优化问题，考查学生应用能力．